제곱근값 근사하기

수학의 세계는 신기합니다. 정확히는 숫자의 성질이겠지요.
학교 다닐 때 느껴본 적은 없지만, 아들 녀석에게 산수를 가르쳐 주면서 새삼 느끼는 중입니다.
오늘은 그 중 하나를 공유하고자 합니다.

 

1. 제곱근값 근사

$ \sqrt{ 110 }$은 대충 얼마일까?

 

 오늘은 위의 문제에 대해 알아봤습니다.
제곱근의 근사값은 제가 일할 때도 많이 접하고 있어서 항상 궁금했던 문제였습니다. 
근사 방법을 먼저 말씀드리면 아래와 같습니다.

 $\sqrt{ A } \approx S$
>  $A=B^2+C (B^2은 A에 가장 가까운 제곱수, C \geq 0)$
>  $S=\sqrt{ B^2 }+\frac{C}{2 \times \sqrt{ B^2 }} =B+\frac{C}{2 \times B}$

 

방법을 알았으니 실제 몇가지 경우에 대해 확인해 보겠습니다.

 

2. 제곱근 근사 예제

2-1. Case 1

• $\sqrt{ 2 } \approx ????$
• $2=1+1$
• $\sqrt{ 2 } \approx \sqrt{ 1 }+\frac{1}{2 \times \sqrt{ 1 }}=1+\frac{1}{2}=1.5$
• $상대 오차 = 6.07%$

2-2. Case 2

• $\sqrt{ 12 } \approx ????$
• $12=9+3$
• $\sqrt{ 12 } \approx \sqrt{ 9 }+\frac{3}{2 \times \sqrt{ 9 }}=8+\frac{1}{2}=3.5$
• $상대오차 = 1.04%$

2-3. Case 3

• $\sqrt{ 80 } \approx ????$
• $80=64+16$
• $\sqrt{ 80 } \approx \sqrt{ 64 }+\frac{16}{2 \times \sqrt{ 64 }}=8+\frac{16}{16}=9$
• 상대오차 = 0.62%

2-4. Case 4

• $\sqrt{ 110 }=???$
• $110=100+10$
• $\sqrt{ 110 } \approx \sqrt{ 100 }+\frac{10}{2 \times \sqrt{ 100 }}=10+\frac{1}{2}=10.5$
• 상대오차 = 0.11%

3. 고찰

위의 네 가지 경우를 보면 숫자마다 상대오차가 서로 다릅니다. 대략 숫자가 커질수록 상대오차가 줄어드는 것은 예측할 수 있는데, 다른 패턴이 있는지 1~1000까지에 대한 근사값을 구해서 각 상대오차를 표시해 보았습니다.

• 숫자가 커지면 거시적으로 상대오차는 줄어듦.
• 1~1000 중 3일 때 가장 오차가 큼(15.5%)
• 제곱수에서는 당연히 오차가 없습니다. 다음 제곱수가 나올 때까지 오차는 점차 증가합니다.
• 어느 제곱수에서 다음 제곱수까지 구간에서 봤을 때의 오차가 가장 적고, 의 오차가 가장 큼.
• 이전 제곱수 직전의 수가 나타낸 오차보다는 작게 나타나 수가 증가할수록 상대오차는 0%로 수렴하게 됩니다.

실제 업무를 볼 때 근호값을 근사적으로 계산할 때가 많습니다. 그럴 때마다 대충 가늠해서 계산했는데, 이제 좀 더 정확하게 계산할 수 있게 된 것 같습니다.

아이한테도 좀 더 산수의 재미를 알려줄 수 있게 된 것 같습니다.

---

참고로 모바일버전에서 수식이 적용되지 않는 것을 보고 여러 블로그를 보았는데 잘되지 않았습니다. 

결국에는 아래 블로그에서 말씀해주신 방법으로 해결했습니다.

https://sosomia01.tistory.com/11

MathJax 모바일 깨짐 해결방법