요사이 아이와 같이 산수를 공부하면서 관련 동영상을 자주 보곤 합니다.
오늘은 근의 공식으로 널리 알려진 2차 방정식의 다른 풀이 방법을 알아보려 합니다.
$ax^2 + bx +c=0$으로 표현되는 2차 방정식은 근은 소위 말하는 근의 공식을 이용하면 아래와 같이 표현할 수 있습니다.
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{ b^2-4ac }}{2a} $$
여기서 조금만 바꿔 보겠습니다.
2차방정식의 두 가지 근을 각각 $\alpha, \beta$라고 할 경우 2차 방정식은 다음과 같이 표현됩니다.
$$ (x-\alpha)(x-\beta)=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta=9$$
- 1차 항 계수 : 두 근의 평균의 -2배.
- 상수항은 두 근의 곱
가령 $x^2-2x-3=0$의 방정식일 경우 $(x-3)(x+1)=0$이므로 두 근은 3과 -1입니다.
- 1차 항의 계수는 -2이므로 두 근의 평균은 1입니다.
- 두 근은 평균값(1)에서 동일한 거리에 위치한 값입니다. (-1 - +2 - 1 - +2 - 3)
- 동일한 거리를 A라고 하면, 두 근을 1+A, 1-A를 표현할 수 있습니다.
- 2차 항의 계수는 두 근의 곱입니다.
- 위에서 설정한 두 근(1+A, 1-A)의 곱을 사용하면, 아래와 같이 두 근을 쉽게 구할 수 있습니다. $$ \alpha \beta = (1+A)(1-A)=1-A^2=-3$$$$ A^2=4 \to A=\pm 2$$$$ A=2 \to \alpha = 1+A=3, \beta = 1-A=-1$$
일반적으로 계수가 정수이면 근의 공식에 넣거나 인수분해를 통해 해를 구하지만, 위의 방법은 계수의 형태와는 상관없이 손쉽게 해를 구할 수 있습니다.
예) $x^2-\frac{10}{3}x+1=0$
- 두 근의 평균은 $\frac{5}{3}$이고 평균값과 근의 차이를 A라고 하면, $\alpha = \frac{5}{3}+A, \beta = \frac{5}{3}-A$ 로 쓸 수 있습니다
- 두 근의 곱은 1이므로 두 근은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
$$ \alpha \beta = \left( \frac{5}{3}+A \right)\left( \frac{5}{3}-A \right)=\frac{25}{9}-A^2=1$$$$ A^2=\frac{16}{9} \to A=\pm 4$$$$ A=4 \to \alpha = 1+A=\frac{17}{3}, \beta = 1-A=-\frac{7}{3} $$
위에서 언급한 것과 같이 위의 식은 $\frac{1}{3}$으로 묶어서 인수분해를 하거나 근의 공식에 넣어서 두 근을 구할 수 있습니다. 하지만, 위의 방법은 계산이 간단한 형태로 해를 구할 수 있고 해를 구할 때까지의 연산량(계산 횟수)이 기존의 두 가지 방법보다 현저히 작습니다.
같은 문제를 여러 가지 형태로 풀어보는 것은 산수(수학)를 익힘에 있어서 상당히 좋은 영향이 있다고 생각합니다. 아직 초등학생인 아이에게 이런 내용을 알려주기에는 이른 감이 있지만, 추후를 위해 정리해 보았습니다.